神戸大学 2022 文系数学第三問

神戸大学文系数学2022で面白い問題を見つけました。

第三問です。整数問題かな。以下に問題の要点を書きます。

ab:実数,1<a<b

(1) x,y,zは０でない実数　a^x=b^y=(ab)^z　ならば　(1/x)+(1/y)=(1/z)　を示せ。

(2)m,nはm>nを満たす自然数　(1/m)+(1/n)=1/5を満たす自然数の組(m,n)を求めよ。

(3)m,nは自然数　a^m=b^n=(ab)^5とする。bをaで表せ。

私が考えた方針は以下に。

(1)は対数を取ってx,yを表現、普通に計算する

(2)はm,nの大小関係から不等式評価　あとは代入して調べる

(3)は(1),(2)の結果から　a^30=b^6=(ab)^5と分かるので、

b^6=(ab)^5からb^5(bは０でない)を割ると、bをaで表せる

といった感じでしょうか。

(1)はきれいに対数の部分が消えてくれて楽しかったです。(2)はチャートとかでもよく見る問題。３変数の場合が多いけれど、今回は２変数と楽ですね。(3)は(1)(2)で分かったことを総動員。誘導が丁寧で良いなあ。自分の入試のときにもこういう問題が出てほしかった・・・