神戸大学 2022 文系数学第三問
神戸大学文系数学2022で面白い問題を見つけました。
第三問です。整数問題かな。以下に問題の要点を書きます。
ab:実数,1<a<b
(1) x,y,zは０でない実数 a^x=b^y=(ab)^z ならば (1/x)+(1/y)=(1/z) を示せ。
(2)m,nはm>nを満たす自然数 (1/m)+(1/n)=1/5を満たす自然数の組(m,n)を求めよ。
(3)m,nは自然数 a^m=b^n=(ab)^5とする。bをaで表せ。
私が考えた方針は以下に。
(1)は対数を取ってx,yを表現、普通に計算する
(2)はm,nの大小関係から不等式評価 あとは代入して調べる
(3)は(1),(2)の結果から a^30=b^6=(ab)^5と分かるので、
b^6=(ab)^5からb^5(bは０でない)を割ると、bをaで表せる
といった感じでしょうか。
(1)はきれいに対数の部分が消えてくれて楽しかったです。(2)はチャートとかでもよく見る問題。３変数の場合が多いけれど、今回は２変数と楽ですね。(3)は(1)(2)で分かったことを総動員。誘導が丁寧で良いなあ。自分の入試のときにもこういう問題が出てほしかった・・・
京都大学の有名問題
私は文系ですが、大学受験の選択科目は数学でした。そういった事情から数学はⅠA・ⅡBまでならなんとなくわかります。数３は分かりません。数学は受験生の頃から結構好きだったので、今でも数学の動画をたまに見たりしています。そうして見つけたこの１問。
素数p,qを用いて p^q+q^pと表される素数を求めよ。（京都大学 2016）
まず問題の形がすごい。本番出されたら混乱してしまいそうですが、落ち着いた状況で見るととても美しいですね。（安全であることの愉悦・・・！）
ここにだらだらと解答を書くことはしません。それは理系の人々の仕事でしょうから・・・
ただ、こういう類の問題はまずは実験をして状況整理するのが定石。そしてp,qのどちらかが判明すれば、一方に具体的な数を当てはめても対称性は失わない みたいな感じかな。
